Pedagogía, matemática y física : diciembre 2014

Física cuántica

Mecánica de fluidos

La mecánica de fluidos es la rama de la mecánica de medios continuos, rama de la física a su vez, que estudia el movimiento de los fluidos (gases y líquidos) así como las fuerzas que lo provocan. La característica fundamental que define a los fluidos es su incapacidad para resistir esfuerzos cortantes (lo que provoca que carezcan de forma definida). También estudia las interacciones entre el fluido y el contorno que lo limita.

Hipótesis básicas.

Como en todas las ramas de la ciencia, en la mecánica de fluidos se parte de hipótesis en función de las cuales se desarrollan todos los conceptos. En particular, en la mecánica de fluidos se asume que los fluidos verifican las siguientes leyes:

conservación de la masa y de la cantidad de movimiento.
primera y segunda ley de la termodinámica.

Hipótesis del medio continuo

La hipótesis del medio continuo es la hipótesis fundamental de la mecánica de fluidos y en general de toda la mecánica de medios continuos. En esta hipótesis se considera que el fluido es continuo a lo largo del espacio que ocupa, ignorando por tanto su estructura molecular y las discontinuidades asociadas a esta. Con esta hipótesis se puede considerar que las propiedades del fluido (densidad, temperatura, etc.) son funciones continuas.

La forma de determinar la validez de esta hipótesis consiste en comparar el camino libre medio de las moléculas con la longitud característica del sistema físico. Al cociente entre estas longitudes se le denomina número de Knudsen. Cuando este número adimensional es mucho menor a la unidad, el material en cuestión puede considerarse un fluido (medio continuo). En el caso contrario los efectos debidos a la naturaleza molecular de la materia no pueden ser despreciados y debe utilizarse la mecánica estadísticapara predecir el comportamiento de la materia. Ejemplos de situaciones donde la hipótesis del medio continuo no es válida pueden encontrarse en el estudio de los plasmas.

Concepto de partícula fluida

Este concepto está muy ligado al del medio continuo y es sumamente importante en la mecánica de fluidos. Se llama partícula fluida a la masa elemental de fluido que en un instante determinado se encuentra en un punto del espacio. Dicha masa elemental ha de ser lo suficientemente grande como para contener un gran número de moléculas, y lo suficientemente pequeña como para poder considerar que en su interior no hay variaciones de las propiedades macroscópicas del fluido, de modo que en cada partícula fluida podamos asignar un valor a estas propiedades. Es importante tener en cuenta que la partícula fluida se mueve con la velocidad macroscópica del fluido, de modo que está siempre formada por las mismas moléculas. Así pues un determinado punto del espacio en distintos instantes de tiempo estará ocupado por distintas partículas fluidas.

Descripciones lagrangiana y euleriana del movimiento de un fluido

A la hora de describir el movimiento de un fluido existen dos puntos de vista. Una primera forma de hacerlo es seguir a cada partícula fluida en su movimiento, de manera que buscaremos unas funciones que nos den la posición, así como las propiedades de la partícula fluida en cada instante. Ésta es la descripción Lagrangiana. Una segunda forma es asignar a cada punto del espacio y en cada instante, un valor para las propiedades o magnitudes fluidas sin importar que en ese instante, la partícula fluida ocupa ese volumen diferencial. Ésta es la descripción Euleriana, que no está ligada a las partículas fluidas sino a los puntos del espacio ocupados por el fluido. En esta descripción el valor de una propiedad en un punto y en un instante determinado es el de la partícula fluida que ocupa dicho punto en ese instante.

La descripción euleriana es la usada comúnmente, puesto que en la mayoría de casos y aplicaciones es más útil. Usaremos dicha descripción para la obtención de las ecuaciones generales de la mecánica de fluidos.

Ecuaciones generales de la mecánica de fluidos

Ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones que rigen toda la mecánica de fluidos se obtienen por la aplicación de los principios de conservación de la mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Para generalizarlas usaremos el teorema del transporte de Reynolds y el teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) para obtener las ecuaciones en una forma más útil para la formulación euleriana.

Las tres ecuaciones fundamentales son: la ecuación de continuidad, la ecuación de la cantidad de movimiento, y la ecuación de la conservación de la energía. Estas ecuaciones pueden darse en su formulación integral o en su forma diferencial, dependiendo del problema. A este conjunto de ecuaciones dadas en su forma diferencial también se le denomina ecuaciones de Navier-Stokes (las ecuaciones de Euler son un caso particular de la ecuaciones de Navier-Stokes para fluidos sin viscosidad).

No existe una solución general a dicho conjunto de ecuaciones debido a su complejidad, por lo que para cada problema concreto de la mecánica de fluidos se estudian estas ecuaciones buscando simplificaciones que faciliten la resolución del problema. En algunos casos no es posible obtener una solución analítica, por lo que hemos de recurrir a soluciones numéricas generadas por ordenador. A esta rama de la mecánica de fluidos se la denomina mecánica de fluidos computacional. Las ecuaciones son las siguientes:

Ecuación de continuidad:

-Forma integral:

\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho \; d\Omega = -\int_{\partial\Omega} \rho (\mathbf{v\cdot n})\ d(\partial\Omega)

-Forma diferencial:

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot\left(\rho\mathbf{v}\right) = 0

Ecuación de cantidad de movimiento:

-Forma integral:

\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho\mathbf{v} \; d\Omega +\int_{\partial\Omega} \rho\mathbf{v}(\mathbf{v\cdot n})\ d\partial\Omega= \int_{\partial\Omega} \boldsymbol\tau \mathbf{\cdot n}\ d\partial\Omega+ \int_{\Omega} \rho\mathbf{f} d\Omega

-Forma diferencial:

\frac{\part}{\part t}\left(\rho \mathbf{v} \right) + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v} \otimes \mathbf{v}) = \rho \mathbf{f}+\nabla \cdot \boldsymbol\tau.

Ecuación de la energía

-Forma integral:

\frac{d}{dt}\int_{\Omega} \rho\left (e+\frac {1}{2}v^2\right)\; d\Omega+\int_{\partial\Omega} \rho\left (e+\frac {1}{2}v^2\right)\mathbf{v\cdot n} d\partial\Omega=\int_{\partial\Omega} \mathbf{n}\cdot\tau\cdot\mathbf{v} \; d\partial\Omega+\int_{\Omega} \rho\mathbf{f\cdot v} \;d\Omega-\int_{\partial\Omega} \mathbf {q \cdot n} \; d\partial\Omega

-Forma diferencial:

\rho\frac {D}{Dt}\left(e+\frac {1}{2}v^2 \right )=-\nabla\cdot\left(p\mathbf{v}\right)+\nabla\cdot\left(\tau'\cdot\mathbf{v}\right)+ \rho\mathbf{f\cdot v}+\nabla\cdot\left(k\nabla T\right)

Equilibrio traslacional y fricción

Las fuerzas pueden actuar de tal forma que causen el movimiento o que lo eviten. Los grandes puentes deben diseñarse de modo que el esfuerzo global de las fuerzas eviten el movimiento. Las armaduras, vigas, trabes y cables de que están formados deben estar en equilibrio. Dicho de otro modo, las fuerzas resultantes que actúan en cualquier punto de la estructura deben estar equilibradas. Las plataformas, montacargas, ganchos, cables y elevadores e incluso los grandes edificios han de construirse de manera que se conozcan y se controlen y comparen los efectos de la fuerza.

Primera ley de Newton

por experiencia sabemos que un objeto estacionario permanece en reposo a menos que una fuerza externa actúe sobre él. Una lata de aceite permanece en la mesa de trabajo hasta que alguien la derriba. un objeto suspendido estará colgado hasta que se suelte. Sabemos que son necesarias las fuerzas para hacer que algo se mueva si originalmente estaba en reposo.

Resulta menos obvio que un objeto en movimiento continuará en ese estado hasta que una fuerza exterior cambie el movimiento. Por ejemplo, una barra de acero que se desliza por el piso de la tienda pronto quedará en reposo debido a su interacción con el piso. La misma barra se deslizaría una distancia mucho mayor, antes de detenerse, si estuviera sobre hielo, lo cual se debe a que la interacción horizontal, llamada Fricción, entre el piso y la barra es mucho mayor que la fricción entre el hielo y la barra. Estos nos sugiere la idea de que una barra que se deslizara sobre una superficie horizontal, totalmente carente de fricción, permanecería moviéndose para siempre. Tales ideas forman una parte de la primera ley de Newton del movimiento.

Primera ley de Newton. Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme a menos que una fuerza externa no equilibrada actué sobre él.

Debido a la existencia de la fricción, no existe ningún cuerpo real que esté totalmente libre de la acción de fuerzas externas. Sin embargo, hay situaciones en las que es posible hacer que la fuerza resultantes sea igual o aproximadamente igual a cero. En tales casos, el cuerpo debe comportarse de acuerdo con la primera ley del movimiento. Puesto que reconocemos que la fricción nunca puede ser eliminada por completo, también debemos aceptar que la primera ley de Newton es una expresión de una situacion ideal. Un volante que gira sobre cojinetes lubricados tienden a mantenerse girado; pero aun la mas leve fricción hará que tarde o temprano se detenga.

Newton llamo inercia a la propiedad de una partícula que le permite mantenerse en un constante estado de movimiento o de reposo. Su primera ley a veces se conoce como ley de inercia. Cuando un automovil se acelera, los pasajeros obedecen esta ley tendiendo a permanecer en reposo hasta que la fuerza externa de los asientos los obliga a moverse. De manera similar, cuando el automovil se detienen los pasajeros continúan en movimiento a rapidez constante hasta que son detenidos por los cinturones de seguridad o por su propio esfuerzo. Toda la materia posee inercia.

Segunda ley de Newton

En virtud de que el estado de un objeto en reposo o en movimiento no será modificado sin la acción de una fuerza de equilibrio ahora debemos considerar qué sucede si hay una fuerza resultante. La experiencia nos indica que cuanto más y más grandes fuerzas resultantes se ejerzan en un objeto, más y más grande será el cambio en la velocidad de éste. Además, si se mantiene constante la fuerza resultante y se aplica a la masas cada vez más grandes, el cambio en la velocidad disminuye. El cambio de velocidad por unidad de tiempo se define como aceleración a.

Newton demostró que hay una relación directa entre la fuerza aplicada y la aceleración resultante. Por añadidura, probó que la aceleración disminuye proporcionalmente con la inercia o masa (m) del objeto. En la segunda ley de Newton se postula este principio.

Segunda ley de Newton. La aceleración a de un objeto en la dirección de una fuerza resultante (F) es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza e inversamente proporcional a la masa (m).

a = F / m ó F= ma

Función polinómica

En matemáticas, una función polinómica es una función asociada a un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).
Formalmente, es una función: